Question

4．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$分别为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AH}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}$$+\frac{4}{5}\overrightarrow{b}$（用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示）

Answer 1

分析 根据条件，由A，H，F三点共线便可得到$\overrightarrow{AH}=λ\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{BC}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}$，同理，由D，H，E三点共线可以得到$\overrightarrow{DH}=μ\overrightarrow{AB}-\frac{μ}{2}\overrightarrow{BC}$，进而得到$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=μ\overrightarrow{AB}+（1-\frac{μ}{2}）\overrightarrow{BC}$，这样根据平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{λ=1-\frac{μ}{2}}\\{\frac{λ}{2}=μ}\end{array}\right.$，解出λ，μ即可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AH}$．

解答 解：如图，E，F分别为BC，CD的中点；
A，H，F三点共线；
∴存在实数λ，使$\overrightarrow{AH}=λ\overrightarrow{AF}$=$λ（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}）$=$λ（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$λ\overrightarrow{BC}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}$；
D，H，E三点共线；
∴存在μ，使$\overrightarrow{DH}=μ\overrightarrow{DE}=μ（\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}）$=$μ（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）$；
∴$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{BC}+μ（\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）$=$μ\overrightarrow{AB}+（1-\frac{μ}{2}）\overrightarrow{BC}$；
∴根据平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{λ=1-\frac{μ}{2}}\\{\frac{λ}{2}=μ}\end{array}\right.$；
解得$μ=\frac{2}{5}$；
∴$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{4}{5}\overrightarrow{b}$．
故答案为：$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{4}{5}\overrightarrow{b}$．

点评 考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，以及向量加法的几何意义．