Question

16．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）=x+a|x²-a|，设m，n是两个实教，若函数f（x）的单调减区间恰为（m，n），且n-m≤$\frac{1}{2}$，求实数a的取值范围（${2}^{-\frac{2}{3}}$，1]．

Answer 1

分析 对a分类讨论：①a=0时，f（x）无单调减区间；②a＜0时，x在（-$\frac{1}{2a}$，+∞）上f（x）是减函数；③a＞0时，运用分段函数表示f（x），当且仅当$\frac{1}{2a}$＜$\sqrt{a}$时，即a＞${2}^{-\frac{2}{3}}$时，在x∈（$\frac{1}{2a}$，$\sqrt{a}$）上，f（x）是减函数，根据函数f（x）的单调减区间为（m，n），且n-m≤$\frac{1}{2}$，可求a的取值范围．

解答 解：y=f（x）=x+a|x²-a|，
①a=0时，f（x）=x无单调减区间；
②a＜0时，y=f（x）=ax²+x-a²，x在（-$\frac{1}{2a}$，+∞）上f（x）是减函数，
∴a＜0不成立；
③a＞0时，y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-a{x}^{2}+x+{a}^{2}，0≤x≤\sqrt{a}}\\{a{x}^{2}+x-{a}^{2}，x＞\sqrt{a}}\end{array}\right.$，
当且仅当$\frac{1}{2a}$＜$\sqrt{a}$时，即a＞${2}^{-\frac{2}{3}}$时，在x∈（$\frac{1}{2a}$，$\sqrt{a}$）上，f（x）是减函数，
∴n-m=$\sqrt{a}$-$\frac{1}{2a}$≤$\frac{1}{2}$，
∴（$\sqrt{a}$-1）（2a+$\sqrt{a}$+1）≤0
∴0＜a≤1，
综上可得，a的取值范围为（${2}^{-\frac{2}{3}}$，1]．
故答案为：（${2}^{-\frac{2}{3}}$，1]．

点评 本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．