Question

如图，用长为2的铁丝焊接成中部为矩形，两边为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y=f（x），写出它的定义域，并求出面积的最大值．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：根据题意，用长为2m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，分别计算其面积，可得框架围成的面积y与x的函数式y=f（x），根据实际意义，可写出它的定义域．

解答： 解：AB=2x，

AB

=

CD

=πx，于是AD=BC=

2-4x-2πx

2

=1-2x-πx，
因此，y=2x（1-2x-πx）+πx²，（4分）
即y=-(π+4)x2+2x=-(π+4)(x-

1

π+4

)2+

1

π+4

．
由

2x＞0 1-2x-πx＞0

，得0＜x＜

1

π+2

，
函数的定义域为（0，

1

π+2

），ymax=

1

π+4

（8分）

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积．