Question

（1）求证：平面SAP;
（2）求二面角A－SD－P的大小.

Answer 1

(2)

证明：（1）因为底面，
所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1
易求得，AP=PD=，…………………………………….…..………….2分
又因为AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以．………….…….3分
因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD,               …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A    所以平面SAP． …………………………….5分
（2）设Q为AD的中点,连结PQ,       ……………………………….………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD……..7分
因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,
由三垂线定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角. …9分
容易证明△DRQ∽△DAS,则
因为DQ=1，SA=1，，所以….……….10分
在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，所以………11分
所以二面角A－SD－P的大小为．……………….…….…….12分
或：过A在平面SAP内作,且垂足为H,在平面SAD内作,且垂足为E,连接HE，平面SAP。平面SDP…………7分
∴HE为AE在平面SPD内的射影，∴由三垂线定理得
从而是二面角A－SD－P的平面角……………………………….9分
在中,，在中,，
.        ………………………………….11分
即二面角的大小为……………………………12分