Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先证明AD⊥PE，再证明PE⊥AB．AD∩AB=A，推出PE⊥平面ABCD．然后证明PE⊥CD．
（Ⅱ）说明PE是四棱锥P-ABCD的高．求出PE=．然后求出．
（Ⅲ）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．推出，，．设=（x，y，z）为平面PDE的法向量．利用由即，可得=（1，-2，0）．设PC与平面PDE所成的角为θ．利用．推出PC与平面PDE所成角的正弦值为．
解答：（Ⅰ）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．（2分）
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．（4分）
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=AD，可得BC=1．
因为△PAB是等边三角形，
可求得PE=．
所以．（9分）
（Ⅲ）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．
，，．
设=（x，y，z）为平面PDE的法向量．
由即，
令X=1，可得m=（1，-2，0）．（12分）
设PC与平面PDE所成的角为θ．
．
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为．（14分）
点评：本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．