题目内容
在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若acosB-bcosA=
c．
（1）证明：tanA=2tanB；
（2）求tan（A-B）的最大值．
| 1 |
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（1）证明：tanA=2tanB；
（2）求tan（A-B）的最大值．
考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,两角和与差的正切函数
专题：解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理即可得证；
（2）由tanA=2tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），并利用基本不等式求出最大值即可．
（2）由tanA=2tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），并利用基本不等式求出最大值即可．
解答：
解：（1）把acosB-bcosA=
c，利用正弦定理化简得：sinAcosB-sinBcosA=
sinC=
sin（A+B），
整理得：3sinAcosB-3cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB=2cosAsinB，
∵cosAcosB≠0，
∴
=
，即tanA=2tanB；
（2）由（1）得到tanA=2tanB＞0，即tanB＞0，
可得tan（A-B）=
=
=
≥2
，
则tan（A-B）的最大值为
．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
整理得：3sinAcosB-3cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB=2cosAsinB，
∵cosAcosB≠0，
∴
| sinAcosB |
| cosAcosB |
| 2cosAsinB |
| cosAcosB |
（2）由（1）得到tanA=2tanB＞0，即tanB＞0，
可得tan（A-B）=
| tanA-tanB |
| 1+tanAtanB |
| tanB |
| 1+2tan2B |
| 1 | ||
|
| 2 |
则tan（A-B）的最大值为
| ||
| 4 |
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
期末1卷素质教育评估卷系列答案
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| ||
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|
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