Question

已知函数f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证：当x≠0时，f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）根据函数奇偶性的对称性的性质即可证明当x≠0时，f（x）＞0．

解答： 解：（1）由题意可得：2^x-1≠0…（2分），
∴x≠0…（3分），
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}…（4分）
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}…（1分）
∴f(-x)=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x(

1

1 2x -1

+

1

2

)=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)=-x(

2x-1+1

1-2x

+

1

2

)=-x(

1

1-2x

-

1

2

)=x(

1

2x-1

+

1

2

)=f（x）…（4分）
∴f（x）为偶函数…（5分）
（3）当x＞0时，
∴2^x＞1∴2^x-1＞0∴

1

2x-1

＞0∴

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

∴f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)＞0…（3分）
又∵f（x）为偶函数∴x＜0时，f（x）＞0…（4分）
综上可得：当x≠0时，f（x）＞0．…（5分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和定义域的求解，综合考查函数的性质的应用．