Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+1}$是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）对于任意不小于3的自然数n，都有f（f（n））＞f（$\frac{n}{n+1}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据定义在R的奇函数图象必过原点，得到a值；
（Ⅱ）设x₁，x₂为任意两个实数，且x₁＜x₂，而f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，利用作差证明f（x₂）＞f（x₁）即可；
（Ⅲ）要证f（f（n））＞f（$\frac{n}{n+1}$），证即f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N，n≥3），即证1-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$＞1-$\frac{1}{n+1}$，即证2ⁿ-1＞2n（n≥3）．用数学归纳法即可证明

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-a}{{2}^{x}+1}$是定义在R的奇函数，
∴f（0）=$\frac{1-a}{1+1}$=0，
解得：a=1．
经检验，当a=1时，
f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$满足f（-x）=-f（x）为奇函数；
证明：（Ⅱ）设x₁，x₂为任意两个实数，且x₁＜x₂，
f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
f（x₂）-f（x₁）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
由指数函数性质知，（2^x₁+1）（2^x₂+1）＞0，2^x₂-2^x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
要证要证f（f（n））＞f（$\frac{n}{n+1}$），
即证f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N，n≥3），
即证1-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$＞1-$\frac{1}{n+1}$，
即证2ⁿ-1＞2n（n≥3）．①
现用数学归纳法证明①式．
（1）当n=3时，左边=2³-1=7，右边=2×3=6，
∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．
（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2^k-1＞2k，那么
2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k-1），
∵k≥3，∴2k-1＞0．
∴2^k+1-1＞2（k+1）．
这就是说，当n=k+1时①式成立．
根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．
由此有f（f（n））＞f（$\frac{n}{n+1}$）．（n≥3，n∈N）．

点评 本小题考查指数函数，数学归纳法，不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力．