Question

11．设M，N是△ABC所在平面内不同的两点，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，则△ABM与△ABN的面积比$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABN}}$为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据向量加法的平行四边形法则，过N作ND∥AC，交AB于D，则$DN=\frac{2}{3}AC$，从而可得到${S}_{△ABN}=\frac{2}{3}{S}_{△ABC}$，而由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$便知M为BC的中点，从而${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，这样便可得出$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABN}}$的值．

解答 解：如图，过N作ND∥AC，交AB于D，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，∴$DN=\frac{2}{3}AC$；
∴${S}_{△ABN}=\frac{2}{3}{S}_{△ABC}$；
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∴M是BC中点；
∴${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{ABN}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{4}$．
故选A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及三角形的面积公式．