Question

6．已知f（x）=2lnx+$\frac{m}{x+1}$．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+3=0平行，判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m的方程，可得m的值，求得f（x）的导数，即可判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）不等式f（x）≥1即$2lnx+\frac{m}{x+1}≥1$，由x的范围，运用参数分离，求得右边函数的最大值，即可得到所求m的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）定义域是（0，+∞），导数$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{m}{{{{（x+1）}^2}}}$，
依题意f'（1）=1，即2-$\frac{m}{4}$=1，解得m=4，
则$f'（x）=\frac{{2（{x^2}+1）}}{{x{{（x+1）}^2}}}＞0$，所以函数f（x）在（0，+∞）单调增加；…（6分）
（Ⅱ）不等式f（x）≥1即$2lnx+\frac{m}{x+1}≥1$，
因为x≥1，所以m≥x+1-2（x+1）lnx，
设g（x）=x+1-2（x+1）lnx，导数$g'（x）=-\frac{2xlnx+x+2}{x}$，
当x≥1时，g'（x）≤0，g（x）在[1，+∞）单调递减，
所以当x≥1时，g（x）≤g（1）=2，因此m≥2，
实数m的取值范围是[2，+∞）．…（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数的单调性及应用，以及参数分离和恒成立问题的解法，属于中档题．