Question

8．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 棱长为4的内接正四面体的高为$\sqrt{16-（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，外接球的半径$\sqrt{6}$，求出球心到截面的距离，可得截面圆的半径，即可求出截面圆的面积．

解答 解：棱长为4的内接正四面体的高为$\sqrt{16-（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，外接球的半径$\sqrt{6}$，
∴过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，球心到截面的距离d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴截面圆的半径为$\sqrt{6-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴截面圆的面积是4πr²=$\frac{16π}{3}$．
故答案为：$\frac{16π}{3}$．

点评 本题考查截面圆的面积，考查学生的计算能力，确定截面圆的半径是关键．