Question

10．在锐角△ABC中，a=1，B=2A，则b的取值范围是（　　）

• A． $（1，\sqrt{3}）$
• B． $（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{2}，2）$
• D． $（\sqrt{3}，2）$

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{π}{2}$＜3 A＜π，且  0＜2A＜$\frac{π}{2}$，故 $\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由正弦定理可得 b=2cosA，从而得到 b 的取值范围．

解答 解：在锐角△ABC中，a=1，∠B=2∠A，
∴$\frac{π}{2}$＜3 A＜π，且  0＜2A＜$\frac{π}{2}$，故 $\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
 故  $\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$． 
由正弦定理可得 $\frac{1}{sinA}=\frac{b}{sin2A}$=$\frac{b}{2sinAcosA}$，
∴b=2cosA，
∴$\sqrt{2}$＜b＜$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，求得 $\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，是解题的关键，属于中档题．