Question

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；
（Ⅱ）求三棱锥P-EAD的体积；
（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB∥平面FAC．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA为棱锥P-ABD的高．由S_△PAE=S_△ABE，知${V_{P-EAD}}=\frac{1}{2}×{V_{P-ABD}}$，由此能求出结果．
（Ⅲ）推导出AD⊥PB，AE⊥PB，从而PB⊥平面EAD，进而OF⊥平面EAD，由此能证明平面EAD⊥平面FAC．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，
在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，
所以OF∥PB，
又因为OF?平面FAC，PB?平面FAC，
所以PB∥平面FAC．
解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P-ABD的高．
因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，
所以${V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ABD}}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$，
因为E为PB中点，所以S_△PAE=S_△ABE，
所以${V_{P-EAD}}=\frac{1}{2}×{V_{P-ABD}}=\frac{2}{3}$．
证明：（Ⅲ）因为AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，
在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，
又AE∩AD=A，AE?平面EAD，AD?平面EAD，
所以PB⊥平面EAD，
又OF∥PB，
所以OF⊥平面EAD，
又OF?平面FAC，
所以平面EAD⊥平面FAC．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．