Question

【题目】设n为正整数，集合A=，，，，，．对于集合A中的任意元素和，记．

（Ⅰ）当n=3时，若，，求和的值；

（Ⅱ）当时，对于中的任意两个不同的元素，，证明：．

（Ⅲ）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，2；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据定义直接计算即可；

（Ⅱ）设，，有，,可得，

所以，易得，

，即可证明结论.

（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证.

（Ⅰ）因为，，

所以，

；

（Ⅱ）当时，对于中的任意两个不同的元素，

设，，有

，．

对于任意的，，，，，，

当时，有，

当时，有．

即，

所以，有，

又因为，

所以，，，，，当且仅当时等号成立，

所以，

，

即，当且仅当（，，，）时等号成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可证，对于任意的，

若，则，成立．

所以，考虑设

，

，，，，，

对于任意的，，，，

，，，

所以，

假设满足条件的集合B中元素个数不少于，

则至少存在两个元素在某个集合（，，，）中，

不妨设为，则．

与假设矛盾，所以满足条件的集合B中元素个数不多于．

取；

对于，，，，取，且；．

令，

则集合满足条件，且元素个数为,

故是一个满足条件且元素个数最多的集合．