Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0）．
（1）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x），在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（3）当a=-2，b=4时，求证：对一切x∈（0，+∞），2x•f（x）≥g（x）-3恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知条件得h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，由此能求出b的取值范围．
（2）设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]，y=（t+

b

2

）²-

b2

4

，由此利用分类讨论思想能求出函数φ（x）的最小值．
（3）要证对一切x∈（0，+∞），2x•f（x）≥g（x）-3恒成立，只要证4≤2lnx+x+

3

x

，设h（x）=2lnx+x+

3

x

，x＞0，则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，由此利用导数性质能证明对一切x∈（0，+∞），2x•f（x）≥g（x）恒成立．

解答： （1）解：依题意：h（x）=lnx+x²-bx，
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴h′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x，∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

，
∴b的取值范围是（-∞，2

2

]．
（2）解：设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]，
∵y=（t+

b

2

）²-

b2

4

，
∴①当-

b

2

≤1，即-2≤b≤2

2

时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，y_min=b+1．
②当1＜-

b

2

＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-

b

2

时，ymin=-

b2

4

 ．
③当-

b

2

≥2，即b≤-4时，函数y在[1，2]上为减函数，当t=2时，y_min=4+2b，
综上所述，φ（x）_min=

b+1，-2≤b≤2 2 - b2 4 ，-4＜b＜-2 4+2b，b≤-4

．
（3）证明：要证对一切x∈（0，+∞），2x•f（x）≥g（x）-3恒成立，
即证2xlnx≥-x²+4x-3，只要证4≤2lnx+x+

3

x

，
设h（x）=2lnx+x+

3

x

，x＞0，则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴对一切x∈（0，+∞），2x•f（x）≥g（x）-3恒成立．

点评：本题考查函数的取值范围的求法，考查函数的最小值的求法，考查不等式的证明，解题时要注意构造法和导数性质的合理运用．