Question

（Ⅰ）设T=

1+sin2θ

．
（1）已知sin（π-θ）=

3

5

，θ为钝角，求T的值；
（2）已知cos（

π

2

-θ）=m，θ为钝角，求T的值；
（Ⅱ）已知sinα=

2

5

，α是第二象限角，且tan（α+β）=3，求tanβ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

，可得 T=

1+2sinθcosθ

的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，可得T=

1+sin2θ

=|sinθ+cosθ|．再分θ∈（

π

2

，

3π

4

），和θ∈（

3π

4

，π）两种情况，分别求得T的值．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα 的值，可得tanα=

sinα

cosα

的值，再根据 tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=3，求得tanβ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）（1）∵sin（π-θ）=

3

5

，θ为钝角，可得sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

，
∴T=

1+sin2θ

=

1+2sinθcosθ

=

1+2× 3 5 ×(- 4 5 )

=

1

5

．
（2）已知cos（

π

2

-θ）=sinθ=m，θ为钝角，∴cosθ=-

1-sin2θ

=-

1-m2

．
∴T=

1+sin2θ

=

(sinθ+cosθ)2

=|sinθ+cosθ|=|m-

1-m2

|．
若θ∈（

π

2

，

3π

4

），sinθ+cosθ＞0，T=sinθ+cosθ=m-

1-m2

；
若θ∈（

3π

4

，π），sinθ+cosθ＜0，T=-（sinθ+cosθ ）=

1-m2

-m．
（Ⅱ）已知sinα=

2

5

，α是第二象限角，∴cosα=-

1-sin2α

=-

5

5

，∴tanα=

sinα

cosα

=-2，
再根据 tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

-2+tanβ

1+2tanβ

=3，求得tanβ=-1．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．