Question

在如图所示的几何体中，平面，∥， 是的中点，，．
（1）证明：∥平面；
（2）求二面角的大小的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取中点，连接，则，且，由已知得，且，故，则四边形是平行四边形，可证明，进而证明∥平面，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角的大小的余弦值的正负，从而求解．
（1）因为，∥，所以平面．
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是，，，，
， ． 
所以，
因为平面的一个法向量为，
所以，
又因为平面，所以平面．   6分
（2）由（1）知，，，．
设是平面的一个法向量，由 得
，取，得，则
设是平面的一个法向量，由得
，取，则，则
设二面角的大小为，则，故二面角的大小的余弦值为．