Question

如图，四棱锥中，平面平面,//,,
,且，.
（1）求证：平面；
（2）求和平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）；（3）在线段上存在一点使得平面平面.

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、转化能力.第一问，在中，求出，在中，求出， 在中，三边符合勾股定理，所以， 利用面面垂直的性质，得平面； 第二问，利用第一问的证明得到垂直关系，建立空间直角坐标系，得到平面BDF和平面CDE中各点的坐标，得出向量坐标，先求出平面CDE的法向量，利用夹角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值；第三问，假设存在F，使得，用表示，求出平面BEF的法向量，由于两个平面垂直，则两个法向量垂直，则， 解出.
（1）由，.,
可得．
由，且，
可得．
又．
所以．
又平面平面，
平面 平面 ，
平面，
所以平面．　　　　　　　　　    ５分
（2）如图建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，．
设是平面的一个法向量，则，，
即 
令，则．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以和平面所成的角的正弦值．　　　　　　     1０分
（3）设，．
，，.
则．
设是平面一个法向量，则，，
即 
令，则．
若平面平面，则，即，.
所以，在线段上存在一点使得平面平面.     14分