Question

如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）所以二面角的余弦值为．

试题分析：（1）求证：∥平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到是的中点，取的中点，连接，，则所以是△的中位线，证得四边形是平行四边形，从而得∥，从而可证∥平面；（2）求证：平面，可用空间向量法，注意到平面平面，，可以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，由题意设，则的各点坐标，从而得，，，利用数量积得，，从而得证；（Ⅲ）求二面角的余弦值，由（2）建立空间直角坐标系，可设平面的法向量为，求出一个法向量，由（2）可知平面的法向量是，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．
试题解析：（1）取的中点，连接，.
因为，分别是，的中点，
所以是△的中位线. 所以∥，且．
又因为是的中点，且底面为正方形，
所以，且∥.所以∥，且．
所以四边形是平行四边形．所以∥．
又平面，平面，所以平面．                 4分

（2）证明：因为平面平面，
，且平面平面，
所以平面．
所以，．
又因为为正方形，所以，
所以两两垂直.
以点为原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系（如图）． 
由题意易知，   设，则
，，，，,,．
因为，，，
且，
所以，．
又因为，相交于，所以平面．          9分

（3）易得，．
设平面的法向量为，则
，所以 即
令，则．
由（2）可知平面的法向量是，
所以 .
由图可知，二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为．          14分