Question

如图，在直三棱柱中，
，。M、N分别是AC和BB₁的中点。
（1）求二面角的大小。
（2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面⊥平面，   
并求出的长度。

Answer 1

（1）；（2）详见解析

试题分析：（1）有两种思路，其一是利用几何体中的垂直关系，以B为坐标原点，所在的直线分别为，轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量的夹角求二面角的大小.其二是按照作出二面角的平面角，并在三角形中求出该角的方法，利用平面平面，在平面内过点作，垂足是,过作，垂足为，连结,得二面角的平面角，最后在直角三角形中求；
（2）在空间直角坐标系中，设，求出平面的法向量，和平面的法向量
再由确定点的坐标，进而求线段的长度.
方法一（向量法）：如图建立空间直角坐标系                    1分

（1）

设平面的法向量为，平面的法向量为
则有    3分
    5分
设二面角为，则 
∴二面角的大小为60°。    6分
（2）设,   ∵
∴，设平面的法向量为
则有              10分
由（1）可知平面的法向量为，
平面平面
即此时,                  12分
方法二：（1）取中点，连接

又平面,
平面 ，过作于，连接
平面 为二面角的平面角      3分
又

∴,  ∴

（2）同解法一.