题目内容
已知函数f（x）=x-2sinx+a（x∈[0，
]），a为常数．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在[0，
]上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
| π |
| 2 |
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在[0，
| π |
| 2 |
考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,正弦函数的图象
专题：导数的综合应用
分析：（1）f′（x）=1-2cosx，令f′（x）=0，解得x=
；分别解出令f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函数的单调性，进而得出极值；
（2）由函数f（x）在[0，
]上有且仅有一个零点，因此函数f（x）取得极小值f(
)=0，解得即可．
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| 3 |
（2）由函数f（x）在[0，
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解答：
解：（1）f′（x）=1-2cosx，
令f′（x）=0，解得x=
；令f′（x）＞0，解得
＜x≤
，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0≤x＜
，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=
时，函数f（x）取得极小值，f(
)=
-2×sin
+a=
-
+a．
（2）∵函数f（x）在[0，
]上有且仅有一个零点，
由（1）可得：函数f（x）取得极小值f(
)=
-
+a=0，解得a=
-
．
令f′（x）=0，解得x=
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∴当x=
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（2）∵函数f（x）在[0，
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由（1）可得：函数f（x）取得极小值f(
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点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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