Question

已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，在函数图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为，试探究函数在Q点处的切线与直线AB的位置关系？
（3）试判断当时图象是否存在不同的两点A、B具有（2）问中所得出的结论.

Answer 1

（1）时，函数在上单调递增；当，函数在和上单调递增；在上单调递减；（2）所以函数Q点处的切线与直线AB平行；
（3）图象不存在不同的两点A、B具有（2）问中所得出的结论.

试题分析：（1）求导即可知其单调性；（2）利用导数求出函数在点Q处的切线的斜率，再求出直线AB的斜率，可看出它们是相等的，所以函数在Q点处的切线与直线AB平行；
（3）设，若满足（2）中结论，则有
，化简得（*）.如果这个等式能够成立，则存在，如果这个等式不能成立，则不存在.设，则*式整理得，问题转化成该方程在上是否有解.再设函数，下面通过导数即可知方程在上是否有解，从而可确定函数是否满足（2）中结论.
（1）由题知，
当即时，，函数在定义域上单调递增；
当，由解得，函数在和上单调递增；在上单调递减；                                             4分
（2），，

所以函数Q点处的切线与直线AB平行；            .7分
（3）设，若满足（2）中结论，有
，即
即   （*）               .9分
设，则*式整理得，问题转化成该方程在上是否有解； 11分
设函数，则，所以函数在单调递增，即，即方程在上无解，即函数不满足（2）中结论    14分