Question

已知函数f(x)＝ax²＋1，g(x)＝x³＋bx，其中a>0，b>0.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x) 在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P为切点)，求实数a，b的值；
(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调减区间为.
①求函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)；
②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a＝，b＝5
（2）①M(a)＝
②

解：(1)由P(2，c)为公共切点，
f(x)＝ax²＋1，g(x)＝x³＋bx(a>0)，
得f′(x)＝2ax，k₁＝4a，
g′(x)＝3x²＋b，k₂＝12＋b.
又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，
所以，解得a＝，b＝5.
(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)
＝x³＋ax²＋bx＋1，
则h′(x)＝3x²＋2ax＋b.
因为函数f(x)＋g(x)的单调减区间为，
所以x∈时，有3x²＋2ax＋b≤0恒成立．
此时x＝－是方程3x²＋2ax＋b＝0的一个根，
所以3²＋2a＋b＝0，
得a²＝4b，
所以h(x)＝f(x)＋g(x)
＝x³＋ax²＋a²x＋1.
又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
若－1≤－，即a≤2时，
最大值为h(－1)＝a－；
若－<－1<－时，即2<a<6时，
最大值为h＝1；
若－1≥－时，即a≥6时，
最大值为h＝1，
综上所述，M(a)＝
②由①可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以h为极大值，h＝1，
h为极小值，h＝－＋1，
因为|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，
又h(0)＝1，所以
即
解得
故实数a的取值范围是.