Question

【题目】极坐标系中椭圆C的方程为，以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．

（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；

（Ⅱ）若椭圆的两条弦，交于点，且直线与的倾斜角互补，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）将椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程,即可设,,则,进而求解；

（Ⅱ）设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,,将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程中,由韦达定理可得,设、对应参数分别为、,则,同理可求得,即可得证.

(Ⅰ)由已知，，即，

所以该椭圆的直角坐标方程为,

设,,

所以,

所以的取值范围是

（Ⅱ）证明:设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,

则直线的参数方程为（为参数）,

代入得,

即,

设、对应参数分别为、,则,

同理,

所以