Question

【题目】已知函数．

（1）若，证明：对任意，存在，使得；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）先要明确“对任意，存在，使得”表示的是在上，的值域是的值域的子集，再求两个函数的值域即可证明；

（2）由不等式恒成立，整理得，由于在上，，因此考虑用分离参变量的方法解答此题，然后构造函数，求的最大值即可．

（1）当时，，

∴函数在上单调递增，

∴，即，

∴的值域为．

∴，

∴函数在上单调递增，

∴，即，

∴的值域为．

∵，

∴，

∴对任意，存在，使得．

（2）由得，

∵，∴，

整理得．

令，

则，

在上，，在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

故．

令，则．

令，则

，

在上，，在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

∴在上，，在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，∴，

即实数的取值范围为．