Question

【题目】已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）讨论的极值；

（2）当且时，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值.（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，令，得，讨论，两种情况，计算得到答案.

（2）证明得到，记，根据单调性得到，故，得到证明.

（1），令，得.

当，即时，在内恒成立，

故在内单调递减，无极值.

当，即时，由，得，

由，得，

∴在内单调递增，在内单调递减，

∴在处取得极大值，且极大值为.

综上所述，当时，无极值.

当时，的极大值为，无极小值.

（2）设，则，

当时，，单调递增，故，即，

∴，∴，

记，则，

当时，；当时，，

故在内单调递减，在内单调递增，从而，

∴.①

由（1）知，当且时，，

∴，②

由①②可知，.