Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；

（Ⅱ）若有两个零点，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）见解析

【解析】

(I)先把代入得到，根据零点存在性原理判断函数的零点坐标原点和，代入求出切线斜率即可求出切线方程；

(II)先构造一个函数，利用这个函数可得到，从而有，再构造，得到，有，再根据即可证明.

解：（Ⅰ）由题意得：，，定义域为，

，

，在上为减函数．

，

由零点存在定理可知，在上必存在一点使

当时，，即在上为增函数，

当时，，即在上为减函数，

极大值，

故至多有两个零点，又，，

故，是的两个零点，由，，

易得出两切线方程为：或

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，

设，

，，

在上为增函数，

当时，，即在上为减函数，

当时，，即在上为增函数，

，即，

设与的交点横坐标为，

，

为增函数，，

同理设，

，，

在上为增函数，，

当时，，即在上为增函数，

当时，，即在上为减函数，

，即，

设与的交点横坐标为，

，

为减函数，，

故：，

得证．