Question

【题目】已知函数，其中e是自然对数的底数

（1）若，求的最小值；

（2）记f（x）的图象在处的切线的纵截距为，求的极值；

（3）若有2个零点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）2（2）极大值1，无极小值．（3）见解析

【解析】

(1)利用基本不等式求解即可.

(2)利用导数的几何意义可得的图象在处的切线方程,进而求得截距,再求导分析单调性与极值即可.

(3)讨论单调性可得,再设,再根据零点可知,,继而化简可得,.将原不等式转换为证明,再构造函数求导分析单调性与最小值证明即可.

（1）因为,

当且仅当时等号成立,所以的最小值为2.

（2）因为,所以.

因为,

所以的图象在处的切线方程为

.

令,得,

所以,

所以当时,,故单调递增;

当时,.故单调递减.

所以当时,h（t）取到极大值,为1,无极小值.

（3）因为,

所以当时,,故单调递增,

所以至多有1个零点,故.

因为,

所以,故.

因为,所以.

设.

因为,,

两式相除得,

所以,

解得,.

要证,

即证,

即证,

即证.

设,

则

故单调递增,

所以,

因此原命题得证.