Question

16．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n=$\frac{3{na}_{n-1}}{{2a}_{n-1}+n-1}$（n≥2，n∈N^•）．
（1）求$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{1}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$的值；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$（n∈N^•），求证：b₁b₂…b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）将条件变为：1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{n-1}{{a}_{n-1}}）$，从而得到{1-$\frac{n}{{a}_{n}}$}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，进而得到$\frac{n}{{3}^{n}}=1-\frac{1}{{3}^{n}}$，由此利用分组求和法能求出$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{1}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$的值．
（2）由b_n=b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$（n∈N^•），用数学归纳法证明 b₁b₂…b_n＜2×$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}}$＜2，（n≥2），再由b₁＜2，从而得出结论成立．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n=$\frac{3{na}_{n-1}}{{2a}_{n-1}+n-1}$（n≥2，n∈N^•），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，
$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+n-1}{3{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{3{a}_{n-1}}+\frac{2}{3}$，
∴1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=1-$\frac{n-1}{3{a}_{n-1}}$-$\frac{2}{3}$，
∴1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{n-1}{{a}_{n-1}}）$，
∵1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴{1-$\frac{n}{{a}_{n}}$}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，∴$\frac{n}{{3}^{n}}=1-\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{1}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$
=n-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$）
=n-$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$
=n-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
（2）证明：∵1-$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，$\frac{n}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}}$，∴a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-n}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$（n∈N^•），
用数学归纳法证明b₁b₂b₃…b_n＜2$•\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}}$，n≥2，
当n=2时，${b}_{1}{b}_{2}=\frac{3}{3-1}•\frac{9}{9-1}$=$\frac{27}{16}$＜$\frac{16}{9}=2•\frac{9-1}{9}$，成立，
假设n=k（k≥2）时，b₁b₂…b_k＜$2•\frac{{3}^{k}-1}{{3}^{k}}$，
当n=k+1时，b₁b₂…b_kb_k+1＜2$•\frac{{3}^{k}-1}{{3}^{k}}•\frac{{3}^{1+k}}{{3}^{k+1}-1}$，
要证明$2•\frac{{3}^{k}-1}{{3}^{k}}•\frac{{3}^{1+k}}{{3}^{k+1}-1}$＜$2•\frac{{3}^{k+1}-1}{{3}^{k+1}}$，
只需证明3^k+1•3^k+1（3^k-1）＜（3^k+1-1）²，
只要证3×3^k+1（3^k-1）＜（3^k+1-1）²，3^2k+2-3^k+2＜3^2k+2-23^k+1+1，
3^k+2＞23^k+1-1，3^k+1＞-1，
∵3^k+1＞-1，∴n=k+1时，b₁b₂…b_kb_k+1$＜2•\frac{{3}^{k+1}-1}{{3}^{k+1}}$．
综上得b₁b₂b₃…b_n＜2$•\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}}$＜2，n≥2，
又当n=1时，b₁＜2，∴b₁b₂…b_n＜2．

点评 本题主要考查用放缩法证明不等式，用数学归纳法证明不等式，掌握好放缩的程度，是解题的难点．还考查等比数列的前n项和公式，等比关系的确定，数列与不等式的综合，属于难题．