Question

1．已知函数f（x）=x+$\sqrt{1+2x}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）求出f（x）的最小值；
（4）解方程：x+$\sqrt{1+2x}$=x²-1+$\sqrt{2{x}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 （1）使原函数有意义，需满足1+2x≥0，这样便可得出该函数的定义域；
（2）x增大时，可看出f（x）增大，从而看出f（x）在定义域上为增函数，根据单调性定义证明：设${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，然后作差，证明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（3）根据f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上单调递减，从而便可得出f（x）的最小值为f$（-\frac{1}{2}）$；
（4）可对原方程进行移项及分子有理化，便可得到方程$（{x}^{2}-x-1）（1+\frac{2}{\sqrt{2{x}^{2}-1}+\sqrt{1+2x}}）=0$，从而得到x²-x-1=0，解该方程，并根据x的范围便可得出该方程的解．

解答 解：（1）使f（x）有意义则：1+2x≥0；
∴$x≥-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的定义域为$[-\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）可看出f（x）在其定义域内单调递增，证明如下：
设${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}+\sqrt{1+2{x}_{1}}）-（{x}_{2}+\sqrt{1+2{x}_{2}}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}）$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$；
∴x₁-x₂＞0，1$+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在定义域内单调递增；
（3）根据（2）知f（x）在[$-\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增；
∴f（x）的最小值为$f（-\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{2}$；
（4）由原方程得：$-{x}^{2}+x+1=\sqrt{2{x}^{2}-1}-\sqrt{1+2x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x-2}{\sqrt{2{x}^{2}-1}+\sqrt{1+2x}}$；
∴$（{x}^{2}-x-1）（1+\frac{2}{\sqrt{2{x}^{2}-1}+\sqrt{1+2x}}）=0$；
∴x²-x-1=0；
解得$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{1+2x≥0}\\{2{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$得，$x≥\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 考查函数定义域的概念及求法，根据函数的单调性定义判断函数的单调性及证明函数单调性的方法和过程，作差比较f（x₁），f（x₂）的方法，分子有理化，以及解一元二次方程．