Question

11．设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，两个坐标系的单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=m-2t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R，m∈R），若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$把圆的极坐标方程化为直角标准方程，把直线l的参数方程化为普通方程，根据直线l与曲线C有公共点的充要条件是圆心C到直线l的距离d≤R，即可得出．

解答 解：曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为ρ²=4ρsinθ，∴直角坐标方程为：x²+y²=4y，配方为：x²+（y-2）²=2，
可得圆心C（0，2），半径R=$\sqrt{2}$．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=m-2t}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），消去参数t可得2x+y-2-m=0．
∵直线l与曲线C有公共点，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|0+2-2-m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{2}$，
解得$-\sqrt{10}$≤m≤$\sqrt{10}$．
∴实数m的取值范围是$[-\sqrt{10}，\sqrt{10}]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角标准方程、直线的参数方程化为普通方程、直线与圆的公共点的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．