Question

12．讨论函数f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）e^x+x+2＞0．

Answer 1

分析 求导，f'（x）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}$，令f'（x）＞0，即可求得f（x）的单调递增区间，由当x＞0时，根据函数单调性可知$\frac{x-2}{x+2}$e^x＞f（0）=-1，即可证，（x-2）e^x+x+2＞0．

解答 解：f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x，f'（x）=e^x（$\frac{x-2}{x+2}$+$\frac{4}{（x+2）^{2}}$）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}$，
∵当f'（x）＞0时，x＜-2或x＞-2，
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增，
证明：∴x＞0时，$\frac{x-2}{x+2}$e^x＞f（0）=-1
∴（x-2）e^x+x+2＞0．

点评 本题考查了导数在函数单调性上的应用，考查复合函数的求导法则以及导数代表的意义，考查计算能力，属于中档题．