Question

2．已知一个矩形内接于半径为5的圆．
（1）当矩形周长最大时，求其面积．
（2）当矩形面积最大时，求其周长．

Answer 1

分析 （1）设矩形的对角线与一边的夹角为α，则矩形的边长为10cosα，10sinα，C=10cosα+10sinα，利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．
（2）S=10cosα•10sinα=50sin2α，利用三角函数的性质即可求出最大值．

解答 解：（1）设矩形的对角线与一边的夹角为α，则矩形的边长为10cosα，10sinα，
∴C=10cosα+10sinα=10$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，即α=$\frac{π}{4}$时，C最大
∴S=10cosα•10sinα=50sin2α=50，
（2）∵S=10cosα•10sinα=50sin2α，
当sin2α=1时，即α=$\frac{π}{4}$时，面积大，
此时周长为C=10cosα+10sinα=10$\sqrt{2}$，

点评 本题考查最值问题，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．