Question

（本题14分）已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1。
（Ⅰ）求的值及的单调减区间；
（Ⅱ）设＞0，＞0，，求证：。

Answer 1

试题分析：解：（Ⅰ） 
，∴ ，即，∴
∴  ，又，∴ ，∴
综上可知   
，定义域为＞0， 
由＜0 得 0＜＜，∴的单调减区间为……………6分
（Ⅱ）先证
即证
即证：
令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即证
令 则
∴
 
① 当＞，即0＜＜1时，＞0，即＞0
在（0，1）上递增，∴＜＝0，
② 当＜，即＞1时，＜0，即＜0
在（1，＋∞）上递减，∴＜＝0，
③ 当＝，即＝1时，＝＝0
综合①②③知即
即
又
∴  
综上可得    ……………14分
点评：对于导数在研究函数中的运用，关键是利用导数的符号判定单调性，进而得到极值，和最值， 证明不等式。属于中档题。