Question

16．设椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的两个焦点F₁，F₂都在x轴上，P是第一象限内该椭圆上的一点，且$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}=2$，则正数m的值为4．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的两个焦点F₁，F₂都在x轴上，得m＞3，正弦定理得：$\frac{|P{F}_{2}|+|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=2，由此能求出m．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{3}=1$的两个焦点F₁，F₂都在x轴上，∴m＞3，
∵P是第一象限内该椭圆上的一点，且$\frac{{sin∠P{F_1}{F_2}+sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}=2$，
∴由正弦定理得：$\frac{|P{F}_{2}|+|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{2c}$=2，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{m-3}}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=4．
故答案为：4．

点评 本题考查正数值的求法，考查椭圆、离心率、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．