题目内容
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③当x1，x2∈[0,1]，且x1＋x2∈[0,1]时，f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．
称这样的函数为“友谊函数”．
请解答下列各题：
(1)已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；
(2)函数g(x)＝2x－1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；
(3)已知f(x)为“友谊函数”，假定存在x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.
解： (1)令x1＝1，x2＝0，则x1＋x2＝1∈[0,1]．
由③，得f(1)≥f(0)＋f(1)，即f(0)≤0.
又由①，得f(0)≥0，所以f(0)＝0.
(2)g(x)＝2x－1是友谊函数．
任取x1，x2∈[0,1]，x1＋x2∈[0,1]，有2x1≥1,2x2≥1.
则(2x1－1)(2x2－1)≥0.
即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)．又g(1)＝1，
故g(x)在[0,1]上为友谊函数．
(3)取0≤x1<x2≤1，则0<x2－x1≤1.
因此，f(x2)≥f(x1)＋f(x2－x1)≥f(x1)．
假设f(x0)≠x0，
若f(x0)>x0，则f[f(x0)]≥f(x0)>x0.
若f(x0)<x0，则f[f(x0)]≤f(x0)<x0.
都与题设矛盾，因此f(x0)＝x0.
练习册系列答案
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时，求
的极大值点；
的图象
与函数
的图象
交于
、
两点，过线段
的中点做
轴的垂线分别交
、
，证明：
（
为实常数）．
，求函数
的单调区间； 
上的最小值为
，求
：
，
：
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 . 
和
的图像关于原点对称，且
．
在
上是增函数，求实数
的取值范围． 
,函数
，若
的解集为
，
求实数
的取值范围（10分）
B、
C、
D、
B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．