题目内容

5．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为-1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，则此双曲线的离心率为（　　）
A．$\frac{\sqrt{34}}{3}$B．2C．$\sqrt{5}$D．$\frac{\sqrt{34}}{5}$

分析 设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再由向量共线的坐标表示，求出b，c与a的关系，即可求双曲线的离心率．

解答 解：设右焦点为F（c，0），
过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为-1的直线为：y=-x+c，
渐近线的方程是：y=±$\frac{b}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+c}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得：B（$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=c-x}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得，C（$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a-b}$），
所以$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{ac}{a+b}$-c，$\frac{bc}{a+b}$）=（$\frac{-bc}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{ac}{a-b}$-$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a-b}$-$\frac{bc}{a+b}$）=（$\frac{2abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{2abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
又 $\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，即有$\frac{-bc}{a+b}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{2abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
化简可得b=$\frac{5}{3}$a，
由a2+b2=c2得，$\frac{34}{9}$a2=c2，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{34}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，主要考查离心率的求法，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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