已知向量$\overrightarrow{a}$=($\frac{1}{2}$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx).$\overrightarrow{b}$=(2+cos2ωx.sinωx)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$在区间[m.n]上单调.且|m-n|的最大值是$\frac{π}{2}$．则fA．2B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx），$\overrightarrow{b}$=（2+cos²ωx，sinωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$在区间[m，n]上单调，且|m-n|的最大值是$\frac{π}{2}$．则f（$\frac{π}{2}$）=（　　）

A．

2

B．

$\frac{7}{4}$

C．

$\frac{5}{4}$

D．

1

分析利用数量积公式得出f（x）解析式，利用三角恒等变换化简，根据正弦函数的性质求出ω，得到函数解析式，则f（$\frac{π}{2}$）可求．

解答解：∵$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx），$\overrightarrow{b}$=（2+cos²ωx，sinωx）（ω＞0），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}×（2+co{s}^{2}ωx）+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωxsinωx$
=$1+\frac{1}{2}co{s}^{2}ωx+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2ωx$=$1+\frac{1}{4}（1+cos2ωx）+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2ωx$
=$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx）+\frac{5}{4}$=$\frac{1}{2}sin（2ωx+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$．
∵单调区间[m，n]的最大长度为$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，得ω=1．
∴f（x）=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∴f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}sin（π+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}=\frac{1}{2}×（-\frac{1}{2}）+\frac{5}{4}=1$．
故选：D．

点评本题考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与正弦函数的图象与性质，属于中档题．

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