Question

6．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）说明函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R的图象可由正弦曲线y=sinx经过怎样的变化得到；
（Ⅲ）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期性和单调性，求得f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（Ⅲ）由f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$求得sinα的值，由α是第二象限的角求得cosα的值，利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得该单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅱ）把正弦曲线y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象；
再把横坐标变为原来的一半，可得y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象；再把函数的图象上的点的纵坐标变为原来的2倍，
可得函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈R的图象．
（Ⅲ）∵f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{8}$）=2sin（α-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵α是第二象限的角，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{13}}{4}$，∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{39}}{8}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，二倍角的正弦公式，属于基础题．