Question

3．若曲线$y=\sqrt{1-{x^2}}$和直线y=k（x-1）+1有两个公共点，则实数k的取值范围是$（{0，\frac{1}{2}}]$．

Answer 1

分析 ，直线y=k（x-1）+1的图象为过定点（1，1），求出两个特殊位置直线的斜率，可得结论．

解答 解：曲线$y=\sqrt{1-{x^2}}$的图象为单位圆的上半圆，
直线y=k（x-1）+1的图象为过定点（1，1），
将点（-1，0）代入直线y=k（x-1）+1
得$k=\frac{1}{2}$，当直线y=k（x-1）+1的斜率k=0与单位圆的上半圆恰有1个交点，
故曲线$y=\sqrt{1-{x^2}}$和直线y=k（x-1）+1有两个公共点，
则实数k的取值范围是$（{0，\frac{1}{2}}]$，
故答案为$（{0，\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．