已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.椭圆C的长半轴长为2．(1)求椭圆C的方程,(2)已知直线l:y=kx-$\sqrt{3}$与椭圆C交于A.B两点.是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在.求出k的值,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C的长半轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx-$\sqrt{3}$与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，求出椭圆C的几何量，然后求解椭圆方程．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用韦达定理以及向量的数量积，转化求解即可．

解答（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，…（2分）
所以b²=a²-c²=4-3=1，故所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…..（4分）
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程$y=kx-\sqrt{3}$代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
并整理，得$（1+4{k^2}）{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$．（*）…．（6分）
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}k}}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$．…（8分）
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}-\sqrt{3}k（{x_1}+{x_2}）+3$，于是$\frac{8}{{1+4{k^2}}}-\frac{{4{k^2}-3}}{{1+4{k^2}}}=0$，…．（10分）
解得$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，…..（11分）
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当$k=±\frac{{\sqrt{11}}}{2}$时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．…（12分）