Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，长轴长等于圆R：x²+（y-2）²=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆R交于M，N两点；
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线RA，RB的斜率之和是定值，并求出该定值；
（3）求|AB|•|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，求出直线RA、RB的斜率之和即可证明结论成立；
（Ⅲ）讨论直线l的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出|AB|•|MN|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x²+（y-2）²=4的直径，
所以2a=4，a=2；  …（1分）
由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{4}=\frac{1}{2}$，得b²=2；…（2分）
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（3分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$联立，
消去y，得（1+2k²）x²+4kx-2=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，…（5分）
由R（0，2），得k_RA+k_RB=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}-1}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}-1}{{x}_{2}}$
=2k-（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2k-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=0．…（7分）
所以直线RA，RB的斜率之和等于零；…（8分）
（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2$\sqrt{2}$，|MN|=4，|AB|•|MN|=8$\sqrt{2}$；…（9分）
当直线l的斜率存在时，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}）^{2}+4×\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{32{k}^{2}+8}}{1+2{k}^{2}}$
|MN|=2$\sqrt{4-（\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{1+2{k}^{2}}}$，…（11分）
所以|AB|•|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{32{k}^{2}+8}}{1+2{k}^{2}}$×2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}}$
=4$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{（4{k}^{2}+1）（4{k}^{2}+3）}}{1+2{k}^{2}}$；
因为直线l过点P（0，1），所以直线l与椭圆C和圆R均交于两点，
令1+2k²=t，则t≥1，
所以|AB|•|MN|=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{（2t-1）（2t+1）}{{t}^{2}}}=4\sqrt{2}\sqrt{4-\frac{1}{{t}^{2}}}＜8\sqrt{2}$，
又y=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-\frac{1}{{t}^{2}}}$在t≥1时单调递增，
所以|AB|•|MN|=4$\sqrt{2}\sqrt{4-\frac{1}{{t}^{2}}}≥4\sqrt{6}$，
当且仅当t=1，k=0等号成立；…（13分）
综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4$\sqrt{6}$，8$\sqrt{2}$]．…（14分）

点评 本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．