题目内容

已知曲线E上任意一点P到两个定点 $数学公式$ ．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点（0，-2）的直线l与曲线E交于C，D两点，若以CD为直径的圆恰好经过原点O．求直线l的方程．

解：（1）由椭圆的定义可得曲线E为椭圆，且 a=2，c= $\text{[math]}$ ，∴b=1，故椭圆的方程为
$\text{[math]}$ ．
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，设直线l的方程为 y=kx-2，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
由于以CD为直径的圆恰好经过原点O，∴ $\text{[math]}$ =0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0 ①．
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得（1+4k²） x²-16kx+12=0．
由△＞0可得 k²＞ $\text{[math]}$ ，又 x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，
代入①得 $\text{[math]}$ -2k• $\text{[math]}$ +4=0，
∴k=2 或-2，均满足 k²＞ $\text{[math]}$ ．
直线l的方程为2x-y-2=0，2x+y+2=0．
分析：（1）由椭圆的定义可得曲线E为椭圆，且a=2，c= $\text{[math]}$ ，求出b值，即得椭圆的方程．
（2）设出直线l的方程，由 $\text{[math]}$ =0得到①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得到关于x的一元二次方程，把根与系数的关系代入①解出 k，即得直线l的方程．
点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，以及椭圆的简单性质的应用，求出直线l的斜率k是解题的难点．