Question

已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距离之和为4．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点（0，-2）的直线l与曲线E交于C，D两点，若以CD为直径的圆恰好经过原点O．求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义可得曲线E为椭圆，且a=2，c=

3

，求出b值，即得椭圆的方程．
（2）设出直线l的方程，由

OC

 •

OD

=0得到①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得到关于x的一元二次方程，把根与系数的关系代入①解出 k，即得直线l的方程．

解答：解：（1）由椭圆的定义可得曲线E为椭圆，且 a=2，c=

3

，∴b=1，故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

1

=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，设直线l的方程为 y=kx-2，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
由于以CD为直径的圆恰好经过原点O，∴

OC

 •

OD

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0   ①．
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 （1+4k²） x²-16kx+12=0．
由△＞0可得  k²＞

3

4

，又 x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，
代入①得(1+k2)

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
∴k=2 或-2，均满足  k²＞

3

4

．
直线l的方程为2x-y-2=0，2x+y+2=0．

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，以及椭圆的简单性质的应用，求出直线l的斜率k是解题的难点．