题目内容
已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-
，0)和F2(
，0)的距离之和为4，
（1）求曲线E的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且
•
=0（O为坐标原点），求直线l的方程．
| 3 |
| 3 |
（1）求曲线E的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且
| OC |
| OD |
（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆
其中a=2，c=
，则b=
=1，
所以动点M的轨迹方程为
+y2=1；
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，设C（x1，y1），D（x2，y2），
∵
•
=0，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，
∴y1y2=k2x1•x2-2k（x1+x2）+4，
∴（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0①
由方程组
得（1+4k2）x2-16kx+12=0，
则x1+x2=
，x1•x2=
，
代入①，得(1+k2)•
-2k•
+4=0，
即k2=4，解得，k=2或k=-2，
所以，直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．
其中a=2，c=
| 3 |
| a2-c2 |
所以动点M的轨迹方程为
| x2 |
| 4 |
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，设C（x1，y1），D（x2，y2），
∵
| OC |
| OD |
∴x1x2+y1y2=0，
∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，
∴y1y2=k2x1•x2-2k（x1+x2）+4，
∴（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0①
由方程组
|
得（1+4k2）x2-16kx+12=0，
则x1+x2=
| 16k |
| 1+4k2 |
| 12 |
| 1+4k2 |
代入①，得(1+k2)•
| 12 |
| 1+4k2 |
| 16k |
| 1+4k2 |
即k2=4，解得，k=2或k=-2，
所以，直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．
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．
和
的距离之和为4，
（O为坐标原点），求直线l的方程．