Question

已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距离之和为4，
（1）求曲线E的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且

OC

•

OD

=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题中条件：“距离之和为4”结合椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆，从而即可写出动点M的轨迹方程；
（2）先考虑当直线l的斜率不存在时，不满足题意，再考虑当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由向量和数量积可得：x₁x₂+y₁y₂=0，由方程组

x2 4 +y2=1 y=kx-2.

，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M的轨迹为椭圆
其中a=2，c=

3

，则b=

a2-c2

=1，
所以动点M的轨迹方程为

x2

4

+y2=1；
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵

OC

•

OD

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0①
由方程组

x2 4 +y2=1 y=kx-2.

得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
则x1+x2=

16k

1+4k2

，x1•x2=

12

1+4k2

，
代入①，得(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
即k²=4，解得，k=2或k=-2，
所以，直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的定义、向量的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．