题目内容
10．已知函数f（x）=2cos2ωx+sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）．（1）若实数x0，x0+$\frac{π}{2}$是函数y=f（x）-1的两个相邻零点，求ω的值；
（2）△BAC中，若f（$\frac{A}{4}$）=2，∠B＞∠C，BC=$\sqrt{21}$，S△ABC=$\sqrt{3}$，O为△ABC的外心，求$\overrightarrow{AO}$?$\overrightarrow{BC}$的值．（利用已经求出的ω的值，）
分析 （1）利用和角公式，以及二倍角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式可得ω的值；
（2）结合（1）中函数f（x）的解析式，求出A角，再由∠B＞∠C，BC=$\sqrt{21}$，S△ABC=$\sqrt{3}$，求出b，c，再由外心的性质及向量的数量积运算，得到答案．
解答 解：（1）f（x）=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx=1+sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∴y=f（x）-1=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$） …（4分）
∵实数x0，x0+$\frac{π}{2}$是函数y=f（x）-1的两个相邻零点，
∴y=f（x）-1的周期是T=π
∴ω=1 …（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵f（$\frac{A}{4}$）=2，即sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1，
又由A是三角形的内角，故$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
即A=$\frac{2π}{3}$，
又∵S△ABC=$\frac{1}{2}bc•sinA$=$\sqrt{3}$，
∴bc=4，
又∵BC=$\sqrt{21}$，则由余弦定理得：
21=b2+c2+bc，即b2+c2=17，
又∵∠B＞∠C，即b＞c，
解得：b=4，c=1，
设BC的中点为D，则$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，
∵O为△ABC的外心，
∴$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$2-$\overrightarrow{AB}$2）=$\frac{1}{2}$（b2-c2）=$\frac{15}{2}$．
点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，和差角（辅助角）公式，三角形面积公式，余弦定理，向量的数量积，是中档题
超能学典应用题题卡系列答案（1）作出散点图，并求出回归直线方程；
（2）根据（1）中求出的回归直线方程，预测生产A产品10（吨）时相应的生产能耗为多少（吨）？
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 1 | 3 | 5 | 6 |
Sn2=$\frac{1}{n}$[（x1-$\overline{x}$）2+（x2-$\overline{x}$）2+…+（xn-$\overline{x}$）2]
公式组Ⅱ.$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}•\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i+1}^{n}{x}_{1}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i+1}^{n}{x}_{1}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$）