Question

14．若曲线C₁、C₂上存在互相平行的切线，则称C₁与C₂为“关联曲线”．则下列四组曲线：①y=$\frac{1}{x}$与y=lnx；②y=x²与y=$\sqrt{x}$；③y=sinx与y=e^x；④y=e^x与y=lnx．其中“关联曲线”的组数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由“关联曲线”的定义可得两曲线上存在切线的斜率相等的直线，则分别对函数求导，考虑导数的图象有没有交点，即可判断．

解答 解：对于①，y=$\frac{1}{x}$的导数为y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$＞0，
则两曲线上的切线的斜率不相等，则不为“关联曲线”；
对于②，y=x²的导数为y′=2x，y=$\sqrt{x}$的导数为y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
函数f（x）=2x和函数g（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$的图象有交点，则为“关联曲线”；
对于③，y=sinx的导数为y′=cosx，y=e^x的导数为y′=e^x，
由余弦函数的图象和指数函数的图象有交点，可得为“关联曲线”；
对于④，y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$＞0，y=e^x的导数为y′=e^x，
由函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象与函数y=e^x的图象有交点，可得为“关联曲线”．
则其中“关联曲线”的组数为3．
故选D．

点评 本题考查导数的几何意义，同时考查新定义的理解和运用，以及函数的图象和性质，属于中档题．