Question

15．已知式子（x²+$\frac{2}{x}$）ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）当n=6时，求二项展开式中的常数项；
（Ⅱ）若（x²+$\frac{2}{x}$）ⁿ的二项展开式中第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，求其展开式中的中间项的系数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
（Ⅱ）已知展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求得n=8，可得中间项为第5项，再根据通项公式求得中间项的系数．

解答 解：（Ⅰ）当n=6时，二项展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•2^r•x^12-3r，
令12-3r=0，则 r=4，
∴展开式中的常数项为：T₅=2⁴•${C}_{6}^{4}$=240．
（Ⅱ）已知展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
∴${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{6}$，∴n=2+6=8，
∴所以（x²+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中共有9项，中间项为第5项，即T₅=2⁴•${C}_{6}^{4}$•x⁴=1120x⁴，
∴展开式中中间项的系数为1120．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．