Question

已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若f（x）在区间（0，e]的最小值是3，求出a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a-

1

x

，由此利用导数的几何意义能求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）由已知得f′（1）=0，f′（x）=a-1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，由此分类讨论，能求出存在实数a=e²，使得f（x）在区间（0，e]的最小值是3．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=ax-lnx，∴f′(x)=a-

1

x

，
当a=2时，f（x）=2x-lnx，∴f（1）=2，
∵f′(x)=2-

1

x

，∴f′(1)=2-

1

1

=1，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=f′（1）（x-1），
即x-y+1=0．
（Ⅱ）∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=0，
由（Ⅰ）知f′（x）=a-1，∴a=1，
经检验，a=1时，f（x）在x=1处有极值，
∴f（x）=x-lnx，令f′(x)=1-

1

x

＞0，解得x＞1或x＜0，
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＞0的解集为（1，+∞），
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，
①当a≤0时，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上单调递减，
f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

，舍去．
②当0＜

1

a

＜e时，∵∈（0，e]，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，
解得a=

4

e

，舍去．
综上所述，存在实数a=e²，使得f（x）在区间（0，e]的最小值是3．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．